А кто первый додумался формализованно выражать тот или иной закон природы? Кому пришла в голову идея, что у природы есть законы , которые можно формализованно выражать?
Это длинная и поучительная история, которая, в частности, проливает дополнительный свет на платонизм. Пересказываю ее здесь по памяти, поэтому возможны ошибки в деталях.
Огромной заслугой древнегреческих мыслителей и ученых была систематическая и глубокая разработка математики, которая впоследствии оказалась адекватным языком для формулировки законов природы в точных науках (механика, физика, астрономия, и отчасти другие естественные науки: химия, биология, и науки о земле).
Материалом для их размышлений были простейшие обьекты, известные из обыденной жизни: числа и фигуры. Так что греческая математика вращалась в кругу арифметики и геометрии. Отсутствовала алгебра. Это серьезно ограничило возможности греческой математики.
В области арифметики исходным материалом служили натуральные числа (1, 2, 3,...) и получаемые из них рациональные (дробные) числа. Среди математиков сформировалось мнение о том, что все числа построены из натуральных чисел, а среди философов это дало начало пифагорейской теории, что кирпичиками, из которых построено мироздание, тоже в каком-то смысле являются натуральные числа. Этим представлениям был нанесен сокрушительный удар, когда было обнаружено существование иррациональных чисел (напр., квадратного корня из 2). Греческие мыслители с омерзением отвернулись от этих монстров - иррациональных чисел, которые нарушали благообразие стройной и гармоничной космологии, построенной пифагорейцами и платониками, а математики просто не знали, что с ними делать. Греческая арифметика никогда не оправилась от этого удара. Ее экспансия в полную числовую область была прервана навсегда.
[Примечание. Числовые злоключения на этом не окончились:
1. Европейские математики обнаружили, что действительные числа не исчерпываются целыми, дробными и иррациональными (точнее,
так называемыми "алгебраическими"); есть другие числа, природа которых долго оставалась совершенно неясной; их свалили в одну кучу и назвали трансцендентными, т.е. "потусторонними". Длительное время никто не мог предьявить ни одного конкретного трансцендентного числа, пока, наконец, во 2-й половине 19-го века не была доказана трансцендентность аж двух (!) чисел: "е" (= 2,718281828..., основание натуральных логарифмов) и "пи" (= 3,14159...). Нечего и говорить, что греческие математики не имели ни малейшего представления о трансцендентных числах. Их картина чилового ряда оказалась довольно примитивной.
2. Затем великий немецкий математик Георг Кантор в конце 19-го века попытался навести какую-то систематику в области действительных чисел, напр., подсчитать их. Оказалось, что хотя целых, рациональных и иррациональных (алгебраических) чисел бесконечно много, их можно вытянуть в ниточку и подсчитать; поэтому множества чисел указанных видов являются "счетно бесконечными". С другой стороны, трансцендентные числа никак сосчитать нельзя: их так "много", что сколько ни считай, всегда найдутся такие, которые останутся за бортом. Поэтому множество трансцендентных чисел - а с ним и всех действительных чисел - является "несчетным". Кантор построил целую иерархию других несчетных "количеств" или "мощостей", но его беспокоил этот огромный провал между счетной мощностью и несчетной мощностью множества действительных чисел. Он задался вопросом: а нельзя ли этот провал заполнить другими несчетными мощностями "поменьше"? Он размышлял над этой проблемой (которую назвали "гипотезой континуума") все последние годы своей жизни, но так и не нашел ответа; говорят, что это серьезно подорвало его душевное равновесие, потому что он окончил свои дни в психушке. Проблему решил только в 1960-х годах американский математик П. Коэн, который доказал потрясающий факт: гипотеза континуума не зависит от остальных постулатов теории множеств, так что ее можно добавить в качестве дополнительного постулата, получив новую математику, или не добавлять (как сейчас предпочитают делать), оставшись при старой математике. Работа Коэна подорвала наивную веру в то, что числа со всеми их свойствами даны в акте чистого разума и однозначно вытекают из структуры нашего ума; ничего подобного, не вытекают - например, в России математики могут игнорировать гипотезу континуума и работать в старом русле, а в Индии добавить ее и получать (частично) другие математические теоремы, причем на совершенно законном основании. И так дело обстоит не только с непонятными трансцендентными числами; еще до Коэна Гёдель доказал, что любая формализованная система, включающая натуральные числа, неполна - в ней можно сформулировать теоремы, истинность или ложность которых установить нельзя. Присоединение таких утверждений к формализованной системе дает более богатую теорию, в которой в свою очередь тоже можно найти (конкретно записать!) недоказуемые и неопровержимые теоремы, и т.д. до бесконечности. Таким образом, серьезнейшие логические проблемы начинаются уже на уровне самых обычных натуральных чисел, и об этом греческие мыслители, разумеется, ни имели ни малейшего понятия.]
В области геометрии греки достигли поразительного мастерства, но тут их остановило отсутствие алгебры. Мышление на языке геометрических фигур изобрел не Платон (напр., он получил информацию о так называемых "платоновых телах" от своих друзей-математиков и просто популяризировал ее); оно, повидимому, возникло стихийно, но то ли пришлось по вкусу грекам, то ли они не знали ничего другого, но они использовали его как единственный метод, и это подкосило греческую геометрию, потому что на этом языке очень трудно решать мало-мальски сложные задачи (напр., современный студент может за час решить алгебраическим методом задачу, над которой лучшие греческие математики могли биться годами) и сложность необходимых выводов растет в геометрической прогрессии.
Математический аппарат, необходимый для эффективного решения естественно-научных и технических задач, сформировался в три этапа:
1). Длительная эволюция алгебры и выработка удобных обозначений для формул. Ничего подобного у греков не было. Чтобы понять, насколько важным это явилось, рассмотрим простое квадратное уравнение: ax^2 + bx + c = 0 (x^2 означает "икс в квадрате"). Греки интерпретировали все величины геометрически, поэтому они не могли бы написать ничего подобного; для них x^2 означало площадь квадрата со стороной x, bx - площадь прямоугольника со сторонами b и x, а c должно было бы интерпретироваться как длина, но это было исключено, т.к. площади и длины складывать нельзя; поэтому они прибегали к ухищрениям и мыслили о c как о какой-то площади. С аналогичными натяжками можно было записать кубическое уравнение, интерпретируя его как сумму или разность обьемов. Но вот с уравнениями более высоких степеней возникали неразрешимые проблемы, т.к. их надо было бы интерпретировать на языке пространств высших измерений, интуиции о которых у греков не было. В то же время на языке алгебры ничего не стоит написать уравнение какой угодно степени.
2). Революционное открытие Р. Декартом аналитической (или координатной) геометрии, которая предоставила простой и удобный метод перевода геометрических задач в аналитические. Этого ни у греков, ни у кого другого раньше не было.
3). Укрощение непрерывности (помните, что греки споткнулись на числовом ряду?) и создание дифференциального и интегрального исчисления, или математического анализа, который оказался необыкновенно гибким и исключительно мощным формализмом для решения задач науки и техники. Греки в лице Архимеда вплотную подошли к созданию интегрального исчисления, но их опять подкосила геометрия: задача (вычисление площади под параболой), которой Архимед посвятил целый трактат и на которую он угробил, вероятно, немало времени, сейчас решается первокурсником за 5 минут.
Только после всех этих математических открытий нового времени оказалось возможным записывать законы природы в виде формул. Хотя Галилей и декларировал, что природа говорит с нами
на языке математики, сам он был не особенно сильным математиком и не сумел полностью реализовать свою программу создания теоретической механики. Впервые это сделал Ньютон, который был гениальным физиком и математиком в одном лице. Правда, Ньютон почему-то решил использовать метод изложения, аналогичный примененному Эвклидом, поэтому его "Начала натуральной философии" перегружены геометрией. Но следующее поколение математиков и физиков устранило ненужную геометрическую орнаментацию и переформулировало ньютонову механику в чисто аналитическом виде; например, у Эйлера (1707-1783) механика излагается примерно так же, как в наше время в простых курсах теоретической механики для технических вузов. Но все же основная заслуга принадлежит Ньютону, потому что он (наряду с Лейбницем) изобрел математический анализ и применил его к формулировке законов природы.
Такова в общих чертах эта история, показывающая действительную роль античной математики и то новое, что добавили ученые нового времени. Я также кратко обрисоввал некоторые методологические проблемы, которые были распутаны только в 20-м веке и которые древние греки не смогли решить или просто не предвидели. Мы теперь знаем много такого, что грекам и не снилось, но наука не стоит на месте - она уже вышла за пределы и математического анализа, и теории множеств, и наглядной научной картины мира, созданной классической физикой. И формулы сейчас на несколько порядков сложнее, а на переднем крае теоретической физики формулы привычного вида вообще элиминированы и заменяются некими абстрактными соотношениями.
|
Дерево сообщений
Поиск
Новая тема
Настройки